题目内容

设f（x）=2asinxcosx+2bcos2x-b，（a，b∈R+）若f（x）≤f（
π
6
）对一切x∈R恒成立，给出下列结论：
①f（-
π
12
）=0； ②f（x）的图象关于点（
5π
12
，0）对称；
③f（x）的图象关于直线x=
5π
12
对称；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）；
⑤f（x）与g(x)=cos(2x-
π
3
)的单调区间相同．
其中正确结论的序号是
①②⑤
①②⑤
．（填上所有正确结论的序号）
分析：化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（
π
6
 ） 是三角函数的最大值，得到x=
π
6
是三角函数的对称轴，由此可求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质，对选项逐个判断．
解答：解：f（x）=2asinxcosx+2bcos2x-b=asin2x+bcos2x
=
a2+b2
sin（2x+θ），其中tanθ=
b
a
，所以周期T=π，
又f（x）≤f（
π
6
）对一切x∈R恒成立，
故x=
π
6
处为最大值点，即x=
π
6
为函数图象的对称轴，
故2×
π
6
+θ=kπ+
π
2
，解得θ=kπ+
π
6
，k∈Z，
故f（x）=
a2+b2
sin（2x+kπ+
π
6
）=±
a2+b2
sin（2x+
π
6
），
又x=
π
6
处为最大值点，故f（x）=
a2+b2
sin（2x+
π
6
），
故①f（-
π
12
）=）=
a2+b2
sin0=0，故正确；
②由2x+
π
6
=kπ，可得x=
kπ
2
-
π
12
，k∈Z，当k=1时，x=
5π
12
，故图象关于点（
5π
12
，0）对称，故正确；
③由2x+
π
6
=kπ+
π
2
，可得x=
kπ
2
+
π
6
，k∈Z，令
kπ
2
+
π
6
=
5π
12
，解得k=
1
8
∉Z，故x=
5π
12
不是对称轴，故错误；
④由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，解得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，故的函数的增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]（k∈Z），故错误；
⑤函数f（x）=
a2+b2
sin（2x+
π
6
）=
a2+b2
cos（
π
2
-2x-
π
6
）=
a2+b2
cos（
π
3
-2x）=
a2+b2
cos（2x-
π
3
），故函数f（x）与g(x)=cos(2x-
π
3
)的单调区间相同，故正确．
故答案为：①②⑤
点评：本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（2cos2x，sinx），
n
=（1，2cosx）．
（I）若
m
⊥
n
且0＜x＜π，试求x的值；
（II）设f（x）=
m
•
n
，试求f（x）的对称轴方程和对称中心．
设f（x）=
x-3               x≥10
f(f(x+5))     x＜10
，则f（6）的值为（　　）
设f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，其导函数为f′（x），当0＜x＜π时，f′（x）•cosx-sinx•f（x）＞0，则不等式f（x）•cosx＜0的解集为
(-π，-
π
2
)∪(0，
π
2
)
(-π，-
π
2
)∪(0，
π
2
)
．
设f（x）=
x+2      (x≤-1)
x2        (-1＜x＜2)，若f(x)=3，则x=
2x          (x≥2)
3
3
．
（2011•武汉模拟）设f（x）=sinπx是[0，1]上的函数，且定义f1（x）=f（x），…，fn（x）=f（fn-1（x）），n∈N*，则满足fn（x）=x，x∈[0，1]的x的个数是（　　）

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