Question

已知数列{a_n}满足a_n＞0，且对一切n∈N^*有

n

i=1

a

3 i

=

S

2 n

，其中Sn=

n

i=1

ai．
（1）对一切n∈N^*，用a_n+1表示S_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：

n

k=1

k

a 2 k

＜3．

Answer 1

分析：（1）

n

i=1

a

i 3

=

S

n 2

将

n

i=1

a

3 i

=

S

2 n

中n换成n+1得到

n+1

i=1

a

3 i

=

S

2 n+1

，两式相减结合数列的前n项和与通项间的关系即可得到
Sn=

1

2

(

a

2 n+1

-an+1)．
（2）利用（1）得到2S_n+1=a_n+1²+a_n+1，将n+1换成n得到另一个式子，两式相减得到数列{a_n}是首项a₁=1，公差为1的等差数列，从而得出数列{a_n}的通项公式；
 （3）先证明当n≥2时，有

k

a 2 k

=

1

k• k

＜

1

k(k-1)

•

2

k + k-1

=2(

1

k-1

-

1

k

)，它是两项差的形式，故利用数列求和的拆项相消法即可化简

n

k=1

k

a 2 k

，从而证得结论．

解答：解：（1）

n i=1 a 3 i = S 2 n n+1 i=1 a 3 i = S 2 n+1

⇒

a

3 n+1

=

S

2 n+1

-

S

2 n

=an+1(Sn+1+Sn)⇒

a

3 n+1

=an+1(an+1+2Sn)，
即a_n+1²=a_n+1+2S_n
⇒a_n+1²-a_n+1=2S_n
⇒Sn=

1

2

(

a

2 n+1

-an+1)…（4分）．
（2）a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1⇒2S_n+1=a_n+1²+a_n+1，
从而由

2Sn+1= a 2 n+1 +an+1 2Sn= a 2 n +an

⇒2an+1=(

a

2 n+1

-

a

2 n

)+an+1-an⇒an+1-an=1，
所以数列{a_n}是首项a₁=1，公差为1的等差数列，
故a_n=n；      …（9分）
（3）当n≥2时，
有

k

a 2 k

=

1

k• k

＜

1

k(k-1)

•

2

k + k-1

=2(

1

k-1

-

1

k

)，
所以有

n

k=1

k

a 2 k

=1+

n

k=2

k

a 2 k

＜1+2

n

k=2

(

1

k-1

-

1

k

)=3-

2

n

＜3．…（14分）

点评：本小题主要考查等差数列、数列的前n项和与通项间的关系、数列与不等式的综合、不等式的证法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．