题目内容
已知公比q为正数的等比数列an的前n项和为Sn，且5s2=4s4．（Ⅰ）求q的值．
（Ⅱ）若bn=q+sn-1，（n≥2，n∈N*）且数列bn也为等比数列，求数列（2n-1）bn的前n项和Tn．
分析：（I）分q=1，q≠1两种情况，利用等比数列的求和公式，转化可得关于首项a1和公比q的方程，从而可得a1与q，可得答案，（II）由（I）代入可得bn=
+2a1-a1• (
)n-2，由题意结合等比数列通项的结构可得
+2a1=0，从而可求a1，进一步求出bn，由于（2n-1）•bn是等差数列与等比数列的积，适合用错位相减求和．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）若q=1，则5S2=10a1，4S4=16a1，∵a1≠0，
∴5S2≠4S4，不合题意．（2分）
若q≠1，由5S2=4S4得5×
=4×
，
∴q2=
，又q＞0，
∴q=
．．（5分）
（Ⅱ）bn=
+
=
+2a1-a1•(
)n-2，（7分）
由bn为等比数列知：
+2a1=0，得a1=-
，
∴bn=
•(
)n-2=
．（9分）
则Tn=
+
+
+…+
①
Tn=
+
+…+
+
②
两式相减化简得Tn=3-
（12分）
∴5S2≠4S4，不合题意．（2分）
若q≠1，由5S2=4S4得5×
| a1(1-q2) |
| 1-q |
| a1(1-q4) |
| 1-q |
∴q2=
| 1 |
| 4 |
∴q=
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）bn=
| 1 |
| 2 |
a1[1-(
| ||
1-
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由bn为等比数列知：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴bn=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n |
则Tn=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 5 |
| 23 |
| 2n-1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 3 |
| 22 |
| 2n-3 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
两式相减化简得Tn=3-
| 2n+3 |
| 2n |
点评：（I）等比数列的通项公式与前n和公式之间的关系关键在于熟练的应用公式，确定基本量之间的关系，而等比数列的求和公式时，要注意对公比q=1和q≠1的讨论
（II）熟练掌握等比数列通项公式的结构是解决此问题的关键，求和的方法关键在于通项，若数列an•bn中an为等差数列，bn为等比数列，对该数列求和用错位相减．
（II）熟练掌握等比数列通项公式的结构是解决此问题的关键，求和的方法关键在于通项，若数列an•bn中an为等差数列，bn为等比数列，对该数列求和用错位相减．
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