题目内容
已知函数f(x)=2cosxsin(x+
)-
sin2x+sinxcosx．
（1）若x∈[-
，
]，求函数f（x）的最值；
（2）记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=0，b+c=4，求△ABC面积的最大值．
| π |
| 3 |
| 3 |
（1）若x∈[-
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
（2）记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=0，b+c=4，求△ABC面积的最大值．
分析：（1）利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+
），由 x∈[-
，
]，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最值．
（2）锐角△ABC中，由f（A）=0 可得A=
．利用基本不等式求得 bc≤4，即 bc的最大值为4，由此求得△ABC的面积S=
bc•sinA 的最大值．
| π |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
（2）锐角△ABC中，由f（A）=0 可得A=
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵函数f(x)=2cosxsin(x+
)-
sin2x+sinxcosx=sinxcosx+
cos2x-
sin2x+sinxcosx
=sin2x+
cos2x=2sin（2x+
）．
∵x∈[-
，
]，∴
≤2x+
≤
，∴
≤sin（2x+
）≤1，
故函数f（x）的最大值为2，最小值为1．
（2）锐角△ABC中，由f（A）=0 可得 sin（2A+
）=0，∴A=
．
∵b+c=4≥2
，当且仅当b=c时取等号，故 bc≤4，即 bc的最大值为 4．
故△ABC面积S=
bc•sinA=
bc≤
，故△ABC面积的最大值为
．
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
=sin2x+
| 3 |
| π |
| 3 |
∵x∈[-
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
故函数f（x）的最大值为2，最小值为1．
（2）锐角△ABC中，由f（A）=0 可得 sin（2A+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵b+c=4≥2
| bc |
故△ABC面积S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，以及基本不等式的应用，属于中档题．
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