Question

已知样本80，82，84，86，88的方差为s²，且关于x的方程x²-（k+1）x+k-3=0的两根的平方和恰好是s²，则k=

 

．

Answer 1

分析：根据方差公式计算方差S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]．再根据一元二次方程根与系数的关系，求得方程两根的和与两根的积，根据x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．

解答：解：这组样本的平均值为

.

x

=

1

5

（80+82+84+86+88）=84
方差S²=

1

5

[（80-84）²+（82-84）²+（84-84）²+（86-84）²+（88-84）²]=8
设方程两个根为x₁和x₂，由于实数根的平方和等于8，
所以x₁²+x₂²=8，
即x₁²+x₂²=x₁²+2x₁x₂+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=8，
∵x₁+x₂=-

b

a

=1+k，x₁x₂=

c

a

=k-3，
∴（1+k）²-2（k-3）=8，
即k²=1，
解得m=-1或m=1．
故答案为：±1．

点评：本题考查方差的定义、一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．