Question

（本题满分12分）已知椭圆E：（其中），直 线L与椭圆只有一个公共点T；两条平行于y轴的直线分别过椭圆的左、右焦点F₁、F₂，且直线L分别相交于A、B两点．

（Ⅰ）若直线L在轴上的截距为，求证：直线L斜率的绝对值与椭圆E的离心率相等；（Ⅱ）若的最大值为120⁰，求椭圆E的方程．

Answer 1

(Ⅰ) 见解析  (Ⅱ)  

法一：（1）设T（x₀，y₀），由对称性，不妨设，∴，∴且；
∵直线L椭圆E只有一个公共点T，由椭圆E：得，求导
，∴直线L：，得；
∵直线L在轴上的截距为，令，得，∴；
∴直线L斜率的绝对值；
（2）直线L：与的交点，
设，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，
，当时，
 ；
∵且，∴，
∵最大值为120⁰，只需令，
∴，∴；∴∴椭圆E的方程为．
解法二：（1）依题意设直线L：，代入椭圆E：整理得：
（*），∵直线L椭圆E只有一个公共点T，
∴方程（*）的，
整理得：，①∵直线L在轴上的截距为，∴代入①得，∴；
（2）考虑对称性，不妨设，由①得，直线L：与的交点，设，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，，由①得，
当时，
，∵且，
∴，
∵最大值为120⁰，只需令，∴；
∴∴椭圆E的方程为．