Question

已知a＞0，函数f(x)=|

x-a

x+3a

|．
（Ⅰ）记f（x）在区间[0，9]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（Ⅱ）是否存在a，使函数y=f（x）在区间（0，9）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；
（Ⅱ）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．

解答：解：（I）当0≤x≤a时，f（x）=

a-x

x+3a

；
当x＞a时，f（x）=

x-a

x+3a

，
∴当0≤x≤a时，f′（x）=

-4a

(x+3a)2

＜0，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时，f′（x）=

4a

(x+3a)2

＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥9，则f（x）在（0，9）上单调递减，g（a）=f（0）=

1

3

，
②若0＜a＜9，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，9）上单调递增，
∴g（a）=max{f（0），f（9）}，
∵f（0）-f（9）=

1

3

-

9-a

9+3a

=

2a-6

9+3a

，
∴当0＜a≤3时，g（a）=f（9）=

9-a

9+3a

，
当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=

1

3

，
综上所述，g（a）=

9-a 9+3a ，0＜a≤3 1 3 ，a＞3

；
（Ⅱ）由（I）知，当a≥9时，f（x）在（0，9）上单调递减，故不满足要求；
当0＜a＜9时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，9）上单调递增，
若存在x₁，x₂∈（0，9）（x₁＜x₂），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，
则x₁∈（0，a），x₂∈（a，9），
且f′（x₁）f′（x₂）=-1
∴

-4a

(x1+3a)2

•

4a

(x2+3a)2

=-1，
∴x₁+3a=

4a

x2+3a

①
∵x₁∈（0，a），x₂∈（a，9），
∴x₁+3a∈（3a，4a），

4a

x2+3a

∈（

4a

9+3a

，1）
∴①成立等价于A=（3a，4a）与B=（

4a

9+3a

，1）的交集非空，
∵

4a

9+3a

＜4a，∴当且仅当0＜3a＜1，即0＜a＜

1

3

时，A∩B≠∅
综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，9）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，

1

3

）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，同时考查了运算求解的能力，正确分类是关键．属于难题．