Question

已知函数f（x）=3ax²+2bx+b-a（a，b是不同时为零的常数）．
（1）当a=时，若不等式f（x）＞-对任意x∈R恒成立，求实数b的取值范围；
（2）求证：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=代入，问题可化为x²+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，可得△=（2b）²-4b＜0，解之即可；
（2）易证当a=0，b≠0时，符合题意；当a≠0时，二次函数f（x）=3ax²+2bx+b-a的对称轴方程为x=-，分①-，②-借助于零点的存在性定理来证明即可．
解答：解：（1）当a=时，f（x）=x²+2bx+b-，
问题可化为x²+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，
故可得△=（2b）²-4b＜0，解得0＜b＜1
（2）证：当a=0，b≠0时，f（x）=2bx+b的零点为∈（-1，0），
当a≠0时，二次函数f（x）=3ax²+2bx+b-a的对称轴方程为x=-，
①若-，即时，f（）f（0）=（）（b-a）=（）（-1）＜0，
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
②-，即时，f（-1）f（）=（2a-b）（）=（）（2-）＜0
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
综上可得：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．
点评：本题考查函数零点的判断，涉及分类讨论的数学，属基础题．