题目内容
已知a＞0，函数f（x）=x3-ax.（1）当a=2时，判断函数f（x）在［1，+∞）上的单调性并证明；
（2）若使f（x）在［1，+∞）上为增函数，求a的范围.
解：（1）当a=2时，f（x）=x3-2x，任取x1、x2∈［1，+∞），x1＜x2.
则f（x1）-f(x2)=x13-2x1-（x23-2x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-2）.
∵x2＞x1≥1，∴x1-x2＜0,x12+x1x2+x22＞3,
∴f(x1)-f(x2)＜0,f(x1)＜f(x2),
∴当a=2时 ,f(x)在［1，+∞）上递增.
（2）设1≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-a）.
要使f（x）在［1，+∞）上递增，则f（x1）-f（x2）＜0在［1，+∞）上恒成立，
只需x12+x1x2+x22-a＞0恒成立.
又1≤x1＜x2,∴x12+x1x2+x22＞3,
∴0＜a≤3,∴a∈（0,3］.
练习册系列答案
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已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）
| A、?x∈R，f（x）≤f（x0） | B、?x∈R，f（x）≥f（x0） | C、?x∈R，f（x）≤f（x0） | D、?x∈R，f（x）≥f（x0） |