Question

已知函数f（x）=ax²-bx+1，
（Ⅰ）是否存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4），若存在，求实数a，b的值，若不存在请说明理由．
（Ⅱ）若a＜0，b=a-2，且不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）不等式ax²-bx+1＞0的解集是（3，4）
故方程ax²-bx+1=0的两根为3，4，
则是3+4=

b

a

，3×4=

1

a

∴a=

1

12

，b=

7

12

而当a=

1

12

时，a＞0，
不等式ax²-bx+1＞0的解集是（-∞，3）∪（4，+∞）满足要求
故不存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4）．
（II）∵a＜0，b=a-2，
∴f（x）=ax²-（a-2）x+1，
又∵不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，
又∵函数f（x）=ax²-（a-2）x+1是开口方向朝下，以x=

a-2

2a

＞

1

2

为对称轴的抛物线
∴函数f（x）在（-2，-1）上单调递增
∴f（-2）≥0或f（-1）≤0
解得a＜0，所以a∈（-∞，0）（15分）