Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ABC=90°,BC=2,CC₁=4,EB₁=1.D、F、G分别为CC₁、B₁C₁、A₁C₁的中点,EF与B₁D相交于H.

       (1)求证:B₁D⊥平面ABD;

       (2)求证:平面EGF∥平面ABD;

       (3)求平面EGF与平面ABD的距离.

      

Answer 1

解析:(1)证明:由直三棱柱的性质,得平面ABC⊥平面BB₁C₁C,?

       又由已知,AB⊥BC,?

       ∴AB⊥平面BB₁C₁C.?

       又B₁D平面BB₁C₁C,?

       ∴AB⊥B₁D.?

       由已知,BC=CD=DC₁=B₁C₁.?

       在Rt△BCD与Rt△DC₁B₁中可求得∠BDC=∠C₁DB₁=45°.?

       则∠BDB₁=90°,即B₁D⊥BD.?

       又AB∩BD=B,?

       ∴B₁D⊥平面ABD.?

       (2)证明:由EB₁=B₁F,在Rt△EB₁F中,求得∠FEB₁=45°,?

       又∠DBB₁=45°,?

       ∴EF∥BD.?

       而BD平面ABD,EF平面ABD,?

       ∴EF∥平面ABD.?

       ∵G、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点,?

       ∴GF∥A₁B₁.?

       又A₁B₁∥AB,则GF∥AB.?

       而AB平面ABD,GF平面ABD,?

       ∴GF∥平面ABD.EF平面EGF,?

       GF平面EGF,EF∩GF=F.?

       ∴平面EGF∥平面ABD.?

       (3)∵B₁D⊥平面ABD,平面EGF∥平面ABD,?

       ∴B₁D⊥平面EGF.?

       则HD为平行平面EGF与平面ABD之间的距离.?

       HD=B₁D-B₁H=2-=.