Question

已知数列{a_n}的前n项和记为S_n，且a₁=2，a_n+1=S_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=

n

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+2，∴n≥2时，a_n=S_n-1+2
两式相减可得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，∴a_n+1=2a_n（n≥2）
∵a₁=2，∴a₂=S₁+2=4，∴n≥2时，a_n=4•2^n-2=2ⁿ，
∵a₁=2，也符合上式，∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）cn=

n

an

=n•(

1

2

)n，
∴T_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n①
∴

1

2

T_n=1×(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1②
①-②：

1

2

T_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
∴T_n=2-(

1

2

)n•(n+2)．