题目内容
如图，正三棱柱
中，
，
是侧棱
的中点.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
中，，是侧棱的中点.（Ⅰ）证明：
；（Ⅱ）求二面角
的大小.解：方法一：
（Ⅰ）证明：设
是
的中点，连接
、
.
在正三棱柱中，
，
平面
，
∴是
在面上的射影.
易知
≌
，
.
又
，
∴
，
，
∴. ………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
平面
，作
，垂足为
，连结
，
则
为二面角的平面角.
不妨设
，则
，
，
在
中，
，
∴
. ………………12分
方法二：
（Ⅰ）在正三棱柱中，以的中点为原点，建立空间直角坐标系
如图.
不妨设，则
，
，
，
，
∴
，
，
∵
.
∴．………………………6分
（Ⅱ）在空间直角坐标系中，
易知平面的一个法向量为
.
设平面
的法向量为
，
易知
，.
由
得
，取
得
．
，
∴二面角的的大小为
．………………………………………12分
（Ⅰ）证明：设
是的中点，连接、.在正三棱柱中，
，平面，∴
是在面上的射影.易知
≌，.又
，∴
，，∴
. ………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知
平面，作，垂足为，连结，则
为二面角的平面角.不妨设
，则，，在
中，，∴
. ………………12分方法二：
（Ⅰ）在正三棱柱中，以
的中点为原点，建立空间直角坐标系如图.不妨设
，则，，，，∴
，，∵
.∴
．………………………6分（Ⅱ）在空间直角坐标系
中，易知平面
的一个法向量为.设平面
的法向量为，易知
，.由
得，取得．，∴二面角
的的大小为．………………………………………12分略
练习册系列答案
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的正方体
中,
是线段
的中点,
.
^
；
；
的体积.
四面体
中,共顶点
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，
若四
面体的四个顶点在一个球面上,则B，D的球面距离为_ ___ __。 
点，那么这两个切点在球面上的最短距离是 。