Question

（2012•咸阳三模）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义，可求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（2）求导函数，在区间(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0；在区间(-

1

a

，+∞)上，f'（x）＜0，故可得函数的单调区间；
（3）由已知转化为f（x）_max＜g（x）_max，可求g（x）_max=2，f（x）最大值-1-ln（-a），由此可建立不等式，从而可求a的取值范围．

解答：解：（1）由已知f′(x)=2+

1

x

 (x＞0)，…（2分）
∴f'（1）=2+1=3．
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3．…（4分）
（2）求导函数可得f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)．…（5分）
当a＜0时，由f'（x）=0，得x=-

1

a

．
在区间(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0；在区间(-

1

a

，+∞)上，f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为(0，-

1

a

)，单调递减区间为(-

1

a

，+∞)…（10分）
（3）由已知转化为f（x）_max＜g（x）_max．
∵g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x₂∈[0，1]，∴g（x）_max=2…（11分）
由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
（或者举出反例：存在f（e³）=ae³+3＞2，故不符合题意．）
当a＜0时，f（x）在(0，-

1

a

)上单调递增，在(-

1

a

，+∞)上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f(-

1

a

)=-1+ln(

1

-a

)=-1-ln(-a)，
所以2＞-1-ln（-a），所以ln（-a）＞-3，
解得a＜-

1

e3

．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查求参数的值，解题的关键是转化为f（x）_max＜g（x）_max．