Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是

2

-1，F到上顶点的距离为

2

，点C（m，0）是线段OF上的一个动点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（

CA

+

CB

）⊥

BA

，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可知a-c=

2

-1且

c2b2

=

2

，解得a=

2

，b=c=1，由此可求出椭圆的方程．
（2）假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由根与系数的关系结合题设条件能够导出不存在这样的直线l．

解答：解：（1）由题意可知a-c=

2

-1且

c2b2

=

2

，
解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1．
假设存在满足题意的直线l，设l的方程为
y=k（x-1），代入

x2

2

+y2=1，
得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

①
∴y1+y2=k(x1+x2-2)

-2k

2k2+1

，
∴

CA

+

CB

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=(

4k2

2k2+1

-2m+

-2k2

2k2+1

)，
∵(

CA

+

CB

)⊥

AB

而AB的方向向量为（1，k），
∴

4k2

2k2+1

-2m+

-2k2

2k2+1

×k=0?(1-2m)k2=m
∴当0≤m＜

1

2

时，k=±

m 1-2m

，即存在这样的直线l；
当

1

2

≤m≤1时，k不存在，即不存在这样的直线l．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合知识，解题时要认真审题，仔细解答．