题目内容

在数列{a_n}中， $数学公式$ ，且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍（n∈N*）．
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

解：（1）由已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（2n-1）a_n，分别取n=2，3，4，5，
得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
所以数列的前5项是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； …（5分）
（2）由（1）中的分析可以猜想 $\text{[math]}$ （n∈N^*）． …（7分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，猜想显然成立． …（8分）
②假设当n=k（k≥1且k∈N^*）时猜想成立，即 $\text{[math]}$ ． …（9分）
那么由已知，得 $\text{[math]}$ ，
即a₁+a₂+a₃+…+a_k=（2k²+3k）a_k+1．所以（2k²-k）a_k=（2k²+3k）a_k+1，
即（2k-1）a_k=（2k²+3）a_k+1，又由归纳假设，得 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，即当n=k+1时，猜想也成立． …（11分）
综上①和②知，对一切n∈N*，都有 $\text{[math]}$ 成立． …（12分）
分析：（1）利用数列{a_n}前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍，推出关系式，通过n=2，3，4，5求出此数列的前5项；
（2）通过（1）归纳出数列{a_n}的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验证n=1成立；第二步，假设n=k猜想成立，然后证明n=k+1时猜想也成立．
点评：本题是中档题，考查数列的项的求法，通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用，注意证明中必须用上假设，考查计算能力，分析问题解决问题的能力．