Question

（2014•广东模拟）某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为

2

3

．
（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于答对3题者直接进入决赛，故可分为三类：一类是三题全对；一类是答4题，前3题错一题，第4题答对；一类是答5题，前4题错两题，第5题答对，故可求求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．利用独立重复试验的概率公式分别求出相应的概率，从而得出ξ的分布列，进而可求概率．

解答：解：（Ⅰ）  选手甲答3道题可进入决赛的概率为(

2

3

)3=

8

27

；  …1分
选手甲答4道题可进入决赛的概率为

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

=

8

27

；…3分
选手甲答5道题可进入决赛的概率为

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

=

16

81

； …5分
∴选手甲可进入决赛的概率p=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

．        …7分
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则有p(ξ=3)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

，p(ξ=4)=

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

+

C

2 3

(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

，p(ξ=5)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

+

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

1

3

=

8

27

，…10分
因此，有

ξ	3	4	5
p	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3•

1

3

+4•

10

27

+5•

8

27

=

107

27

=3

26

27

．          …12分．

点评：本题的考点是离散型随机变量的期望与方差，主要考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个综合题目，考查的知识点比较全面，在应用独立重复试验的概率公式时，注意数字运算不要出错．