Question

已知a＞0，函数f（x）=-asin（2x+

π

6

）+b，当x∈[0，

π

2

]时，-3≤f（x）≤0．
（1）求常数a，b的值；
（2）设g（x）=lgf（x+

π

2

），求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）当x∈[0，

π

2

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，则-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，利用-3≤f（x）≤1，可求得常数a，b的值；
（2）由（1）得，f（x）=-2sin（2x+

π

6

）-1，得到g（x）=lg[2sin（2x+

π

6

）-1]，
由2sin（2x+

π

6

）-1＞0及y=2sin（2x+

π

6

）-1的单调增区间，即可得到g（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由于当x∈[0，

π

2

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
则-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
则f（x）=-asin（2x+

π

6

）+b∈[-a+b，

1

2

a+b]，
又由-3≤f（x）≤0，则-3=-a+b，0=

1

2

a+b，
解得a=2，b=-1，
则常数a，b的值分别为2，-1；
（2）由（1）得，f（x）=-2sin（2x+

π

6

）-1，
则g（x）=lgf（x+

π

2

）=lg[-2sin（2x+

7π

6

）-1]
=lg[2sin（2x+

π

6

）-1]，
由于2sin（2x+

π

6

）-1＞0，则sin（2x+

π

6

）＞

1

2

，
则2kπ+

π

6

＜2x+

π

6

＜2kπ+

5π

6

，k∈Z，
解得kπ＜x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
又由g（x）单调递增，2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即当kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z时，g（x）单调递增，
因此，g（x）的单调增区间为（kπ，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：本题考查了正弦函数的单调区间，考查了y=Asin（ωx+φ）的单调性及最值，解答本题的关键是利用角的范围求得f（x）=-asin（2x+

π

6

）+b的最大值域最小值．