Question

已知圆C：x²+y²=4，直线l：x+y=b．
（1）b为何值时直线l和圆相切，并求出切点坐标；
（2）b为何值时直线l和圆相交，并求出弦长．

Answer 1

联立圆与直线的方程得：

x+y=b x2+y2=4

，
消去y得：2x²-2bx+（b²-4）=0，
∴△=-4b²+32，
（1）当△=0，即b=±2

2

时，直线l和圆相切，设切点为A，
又直线l方程为x+y=b的斜率为-1，
∴过A于切线方程垂直直线方程的斜率为1，又该直线过原点，
∴切点一定在直线y=x上，
∴切点坐标为(

2

，

2

)或(-

2

，-

2

)；
（2）当△＞0，可得b²＜8，即-2

2

＜b＜2

2

时，直线l和圆相交，
∵圆心到直线的距离为

|b|

2

，又r=2，
则所求弦长为2

22-( |b| 2 )2

=

16-2b2

．