Question

已知函数f(x)=x|x-1|-

1

4

，则函数y=f（2^x）的零点是

log2

1+ 2

2

，-1

．

Answer 1

分析：先化简f（x），求出f（x）的零点，然后解指数方程，可得函数y=f（2^x）的零点．

解答：解：∵函数f(x)=x|x-1|-

1

4

，
∴当x≥1时，f（x）=x（x-1）-

1

4

=x2-x-

1

4

=0，解得x=

1+ 2

2

或x=

1- 2

2

（舍去）．
当x＜1时，f（x）=-x（x-1）-

1

4

，由f（x）=-x（x-1）-

1

4

=0，即4x²-4x+1=（2x-1）²=0，解得x=

1

2

．
即函数f（x）的两个零点为x=

1+ 2

2

或x=

1

2

．
由2x=

1

2

=2-1，得x=-1，
由2x=

1+ 2

2

，解得x=log2

1+ 2

2

．
故函数y=f（2^x）的零点是：log2

1+ 2

2

，-1．
故答案为：log2

1+ 2

2

，-1．

点评：本题主要考查求函数的零点，以及解指数方程问题，考查学生的运算能力．