Question

（2013•虹口区二模）已知复数z_n=a_n+b_n•i，其中a_n∈R，b_n∈R，n∈N^*，i是虚数单位，且zn+1=2zn+

.

zn

+2i，z₁=1+i．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求和：①a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1；②b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1．

Answer 1

分析：（1）根据复数的代数形式及其运算法则，建立关于a_n与a_n+1、b_n与b_n+1的方程组，可得数列{a_n}、{b_n}分别是等比数列和等差数列，结合等差、等比数列的通项公式即可求出{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）①根据（1）的结果，算出数列{a_na_n+1}是以3为首项，公比为9的等比数列．再利用等比数列求和公式即可算出a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1的值；
②根据（1）中算出的{b_n}的通项公式，分n为偶数时和n为奇数时两种情况讨论，对b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1进行分组，提公因式后利用等差数列求和公式进行计算，即可得到b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1表达式的两种情形，最后再加以综合即可得到答案．

解答：解：（1）∵z₁=a₁+b₁•i=1+i，∴a₁=1，b₁=1．
由zn+1=2zn+

.

zn

+2i得a_n+1+b_n+1•i=2（a_n+b_n•i）+（a_n-b_n•i）+2i=3a_n+（b_n+2）•i，
∴

an+1=3an bn+1=bn+2

…（3分）
因此，数列{a_n}是以1为首项、公比为3的等比数列；数列{b_n}是以1为首项、公差为2的等差数列，
可得，an=3n-1，b_n=2n-1．…（6分）
（2）①由（1）知an=3n-1，∵

akak+1

ak-1ak

=32，
∴数列{a_na_n+1}是以3为首项，公比为3²的等比数列．
∵a1a2+a2a3+…+anan+1=

3(1-32n)

1-9

=

32n+1

8

-

3

8

．…（9分）
②当n=2k，k∈N^*时，
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1
=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2k-1b_2k-b_2kb_2k+1）
=-4b₂-4b₄-…-4b_2k=-4（b₂+b₄+…+b_2k）
=-4•

k(b2+b2k)

2

=-8k2-4k=-2n2-2n
当n=2k+1，k∈N^*时，
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1

=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2k-1b2k-b2kb2k+1)+b2k+1b2k+2

=-8k2-4k+(4k+1)(4k+3)=2n2+2n-1

又∵n=1也满足上式，
∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+(-1)n+1bnbn+1=

2n2+2n-1     当n为奇数时 -2n2-2n        当n为偶数时

…（14分）

点评：本题以复数的运算为载体，求等差、等比数列的通项公式和它们和的表达式，着重考查了复数代数形式的运算、等差等比数列的通项公式与求和公式等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．