题目内容
已知点B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|
|•|
|=
•
．
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1•k2=2．求证：直线DE过定点，并求出这个定点．
| PC |
| BC |
| PB |
| CB |
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1•k2=2．求证：直线DE过定点，并求出这个定点．
分析：（1）设出P点坐标，求出
，
的坐标，代入满足|
|•|
|=
•
整理即可得到点P的轨迹C对应的方程；
（2）把A的坐标代入点P的方程求出m的值，设出DE的方程，和抛物线方程联立后得到D、E两点横坐标的和与积，再由两点的斜率之积等于2得到关系式，和根与系数关系结合后可得直线DE的斜率和截距的关系，代回直线方程后利用直线系方程得到证明．
| PC |
| BC |
| PC |
| BC |
| PB |
| CB |
（2）把A的坐标代入点P的方程求出m的值，设出DE的方程，和抛物线方程联立后得到D、E两点横坐标的和与积，再由两点的斜率之积等于2得到关系式，和根与系数关系结合后可得直线DE的斜率和截距的关系，代回直线方程后利用直线系方程得到证明．
解答：（1）解：设P（x，y），代入足|
|•|
|=
•
，得
=1+x，化简得y2=4x；
（2）证明：将A（m，2）代入y2=4x，得m=1，
设直线DE的方程为y=kx+b，D（x1，y1），E（x2，y2）
由
，得k2x2+2（kb-2）x+b2=0，
∵kAD•kAE=2，∴
•
=2(x1，x2≠1)，
且y1=kx1+b，y2=kx2+b，∴(k2-2)x1x2+(kb-2k+2)(x1+x2)+(b-2)2-2=0①
将x1+x2=
，x1x2=
代入①得，b2=（k-2）2，∴b=±（k-2）．
将b=k-2代入y=kx+b得，y=kx+k-2=k（x+1）-2，过定点（-1，-2）．
将b=2-k代入y=kx+b得，y=kx+2-k=k（x-1）+2，过定点（1，2），不合，舍去，
∴定点为（-1，-2）．
| PC |
| BC |
| PB |
| CB |
| (x-1)2+y2 |
（2）证明：将A（m，2）代入y2=4x，得m=1，
设直线DE的方程为y=kx+b，D（x1，y1），E（x2，y2）
由
|
∵kAD•kAE=2，∴
| y1-2 |
| x1-1 |
| y2-2 |
| x2-1 |
且y1=kx1+b，y2=kx2+b，∴(k2-2)x1x2+(kb-2k+2)(x1+x2)+(b-2)2-2=0①
将x1+x2=
| -2(kb-2) |
| k2 |
| b2 |
| k2 |
将b=k-2代入y=kx+b得，y=kx+k-2=k（x+1）-2，过定点（-1，-2）．
将b=2-k代入y=kx+b得，y=kx+2-k=k（x-1）+2，过定点（1，2），不合，舍去，
∴定点为（-1，-2）．
点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，考查了直线系方程的运用，是有一定难度题目．
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