Question

（2008•佛山一模）数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2-an

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明S_n＜n-ln（

n+2

2

）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法一，对数列递推式变形，证明{

1

an-1

}是首项为-2，公差为-1的等差数列，从而可求求数列{a_n}的通项公式；
方法二，计算前几项，猜想通项，再利用数学归纳法进行证明；
（Ⅱ）设F（x）=ln（x+1）-x，证明函数F（x）为（0，+∞）上的减函数，可得ln（x+1）＜x（x＞0），从而 ln(1+

1

n+1

)＜

1

n+1

，1-

1

n+1

＜1-ln(1+

1

n+1

)，进而可得结论．

解答：（Ⅰ）解：方法一：an+1-1=

1

2-an

-1=

an-1

2-an

，
所以

1

an+1-1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

．                                  …（3分）
所以{

1

an-1

}是首项为-2，公差为-1的等差数列．                     …（4分）
所以

1

an-1

=-n-1，所以an=

n

n+1

．                                 …（6分）
方法二：a2=

2

3

，a3=

3

4

，a4=

4

5

，猜测an=

n

n+1

．                   …（2分）
下用数学归纳法进行证明．
①当n=1时，由题目已知可知a1=

1

2

，命题成立；                    …（3分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时成立，即ak=

k

k+1

，那么
当n=k+1，ak+1=

1

2-ak

=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

，
也就是说，当n=k+1时命题也成立．                               …（5分）
综上所述，数列{a_n}的通项公式为an=

n

n+1

．                       …（6分）
（Ⅱ）证明：设F（x）=ln（x+1）-x（x＞0）
则F′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

＜0(x＞0)…（8分）
函数F（x）为（0，+∞）上的减函数，所以F（x）＜F（0）=0，即ln（x+1）＜x（x＞0）
从而 ln(1+

1

n+1

)＜

1

n+1

，1-

1

n+1

＜1-ln(1+

1

n+1

)，…（10分）an=1-

1

n+1

＜1-ln(n+2)+ln(n+1)，…（11分）
∴S_n＜（1-ln3+ln2）+（1-ln4+ln3）+…+[1-ln（n+2）+ln（n+1）]…（13分）
∴Sn＜n-ln(

n+2

2

)…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．