Question

已知函数f（x）=log₉（9^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+b没有交点，求b的取值范围；
（3）设h(x)=log9(a•3x-

4

3

a)，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）为偶函数所以f（-x）=f（x）代入求得k的值即可；
（2）函数与直线没有交点即log9(9x+1)-

1

2

x=

1

2

x+b无解，即方程log₉（9^x+1）-x=b无解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．推出g（x）为减函数得到g（x）＞0，所以让b≤0就无解．
（3）函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，即联立两个函数解析式得到方程，方程只有一个解即可．

解答：解：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以?x∈R，f（-x）=f（x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx对于?x∈R恒成立．
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9

9x+1

9x

-log9(9x+1)=-x恒成立
即（2k+1）x=0恒成立，
而x不恒为零，所以k=-

1

2

．
（2）由题意知方程log9(9x+1)-

1

2

x=

1

2

x+b即方程log₉（9^x+1）-x=b无解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为g(x)=log9

9x+1

9x

=log9(1+

1

9x

)
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则0＜9x1＜9x2，从而

1

9x1

＞

1

9x2

．
于是log9(1+

1

9x1

)＞log9(1+

1

9x2

)，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为1+

1

9x

＞1，所以g(x)=log9(1+

1

9x

)＞0．所以b的取值范围是（-∞，0]．
（3）由题意知方程3x+

1

3x

=a•3x-

4

3

a有且只有一个实数根．
令3^x=t＞0，则关于t的方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0（记为（*））有且只有一个正根．
若a=1，则t=-

3

4

，不合，舍去；
若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．
由△=0?a=

3

4

或-3；但a=

3

4

?t=-

1

2

，不合，舍去；而a=-3?t=

1

2

；
方程（*）的两根异号?（a-1）•（-1）＜0，即-a+1＜0，解得：a＞1．
综上所述，实数a的取值范围{-3}∪（1，+∞）．

点评：考查学生运用函数奇偶性的能力，以及函数与方程的综合运用能力．