题目内容
（2009•杨浦区一模）（文）在体积为4
π的球的表面上有A、B、C三点，AB=1，BC=
，A、C两点的球面距离为
π．则
•
=
| 3 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| AB |
| BC |
0
0
．分析：根据球的体积，首先就要先计算出球的半径．再根据A、C两点的球面距离，可求得
所对的圆心角的度数，进而根据余弦定理可得线段AC的长度为
，所以△ABC为直角三角形，所以线段AC的中点即为ABC所在平面的小圆圆心，利用向量垂直的充要条件得到结论．
 |
| AC |
| 3 |
解答：解：设球的半径为R，则 V=
πR3=4
π，
∴R=
．
设A、C两点对球心张角为θ，则
=Rθ=
θ=
π，
∴θ=
，
∴由余弦定理可得：AC=
，
∴AC为ABC所在平面的小圆的直径，
∴∠ABC=90°，
所以
•
=0
故答案为0．
| 4 |
| 3 |
| 3 |
∴R=
| 3 |
设A、C两点对球心张角为θ，则
|
| AC |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴θ=
| π |
| 3 |
∴由余弦定理可得：AC=
| 3 |
∴AC为ABC所在平面的小圆的直径，
∴∠ABC=90°，
所以
| AB |
| BC |
故答案为0．
点评：本小题主要考查立体几何球面距离及向量垂直的充要条件，是一道综合题．
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