题目内容

某次考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，试求该考生：
（Ⅰ）得40分的概率；
（Ⅱ）所得分数ξ的数学期望．

解：（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为 $\text{[math]}$ ，有一道题目做对的概率为 $\text{[math]}$ ，有一道做对的概率为 $\text{[math]}$ ，
所以得40分的概率为 $\text{[math]}$ ．…4分
（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{25，30，35，40}．
得25分是指做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为 $\text{[math]}$ ，
得30分是指做对5题，其余3题只做对1题，所以概率为 $\text{[math]}$ ，
得35分是指做对5题，其余3题做对2题，所以概率为 $\text{[math]}$ ，
得40分是指做对8题，所以概率为 $\text{[math]}$ ．
得ξ的分布列为：

ξ	25	30	35	40
p	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

所以Eξ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为 $\text{[math]}$ ，有一道题目做对的概率为 $\text{[math]}$ ，有一道做对的概率为 $\text{[math]}$ ，由此能求出得40分的概率．
（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{25，30，35，40}．得25分的概率 $\text{[math]}$ ，得30分的概率 $\text{[math]}$ ，得35分的概率 $\text{[math]}$ ，得40分的概率 $\text{[math]}$ ．由此能求出ξ的分布列和Eξ．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．