题目内容

（2011•扬州三模）某次考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，试求该考生：
（Ⅰ）得40分的概率；
（Ⅱ）所得分数ξ的数学期望．
分析：（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为
1
2
，有一道题目做对的概率为
1
3
，有一道做对的概率为
1
4
，由此能求出得40分的概率．
（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{25，30，35，40}．得25分的概率p1=
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
4
，得30分的概率p2=
1
2
×
2
3
×
3
4
+
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
2
3
×
1
4
=
11
24
，得35分的概率p3=
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
2
3
×
1
4
+
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
4
，得40分的概率p4=
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
24
．由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答：解：（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为
1
2
，有一道题目做对的概率为
1
3
，有一道做对的概率为
1
4
，
所以得40分的概率为p=
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
24
．…4分
（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{25，30，35，40}．
得25分是指做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为p1=
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
4
，
得30分是指做对5题，其余3题只做对1题，所以概率为p2=
1
2
×
2
3
×
3
4
+
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
2
3
×
1
4
=
11
24
，
得35分是指做对5题，其余3题做对2题，所以概率为p3=
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
2
3
×
1
4
+
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
4
，
得40分是指做对8题，所以概率为p4=
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
24
．
得ξ的分布列为：
ξ 25 30 35 40
p
1
4
11
24
1
4
1
24
所以Eξ=25×
1
4
+30×
11
24
+40× 
1
24
=
730
24
=
365
12
．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．
练习册系列答案
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12
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3
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．

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