Question

已知 f(α)=

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 +α)cos( 11π 2 -α)

2sin(3π+α)sin(-π-α)sin( 9π 2 +α)

．
①化简f（α）．
②若sinα是方程10x²+x-3=0的根，且α在第三象限，求f（α）的值．
③若a=-

25

4

π，求f（α）的值．

Answer 1

分析：①把f（α）的分子最后一项的角

11π

2

-α变为6π-（

π

2

+α），分母第一项的角3π+α变形为2π+（π+α），第二项中的角变形为-（π+α），最后一项变形为4π+（

π

2

+α），然后各项利用诱导公式及正弦、余弦函数的奇偶性进行化简，约分后即可得到最简结果；
②把已知的方程分解因式后，求出方程的两个解，由sinα是方程10x²+x-3=0的根，且α在第三象限，可得出sinα的值，代入第一问化简后的式子中，即可求出f（α）的值；
③把α的值变形为-6π-

π

4

，代入第一问化简后的式子中，利用诱导公式及正弦函数的奇偶性化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出f（α）的值．

解答：解：①f(α)=

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 +α)cos( 11π 2 -α)

2sin(3π+α)sin(-π-α)sin( 9π 2 +α)

=

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 +α)cos[6π-( π 2 +α)]

2sin[2π+(π+α)]sin[-(π+α)]sin[4π+( π 2 +α)]

=

(-sinα)(-cosα)(-sinα)(-sinα)

2(-sinα)sinαcosα

=-

1

2

sinα；…（4分）
②由方程10x²+x-3=0，解得：x1=

1

2

，x2=-

3

5

，
又α在第三象限，∴sinα=-

3

5

，
则f(α)=-

1

2

sinα=-

1

2

×(-

3

5

)=

3

10

；…（8分）
（3）当a=-

25

4

π时，f(α)=-

1

2

sin(-

25

4

π)=-

1

2

×sin(-6π-

π

4

)=-

1

2

×sin(-

π

4

)=

2

4

．…（12分）

点评：此题考查了三角函数的恒等变形，涉及的知识有：正弦、余弦函数的奇偶性，诱导公式，函数的值，以及特殊角的三角函数值，灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．