Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-x2-3x+

4

3

，直线l：9x+2y+c=0．
（1）求证：直线l与函数y=f（x）的图象不相切；
（2）若当x∈[-2，2]时，函数f（x）的图象在直线l的下方，求c的范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数得f′（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，得出函数y=f（x）的图象上任意一点的切线的斜率均不小于-4
而直线l的斜率小于4，所以直线l与y=f（x）的图象不相切．
（2）先根据题意得到不等式

1

3

x3-x2-3x+

4

3

＜-

9

2

x-

c

2

，然后转化为 c＜ -

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

成立，即求在闭区间上的最小值问题；先对函数g（x）=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

求导判断单调性，即可求出最小值，进而得到答案．

解答：证明：（1）f′（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4
故函数y=f（x）的图象上任意一点的切线的斜率均不小于-4
而直线l：9x+2y+c=0的斜率为-

9

2

＜-4
所以直线l与y=f（x）的图象不相切．
（2）当x∈[-2，2]时，函数y=f（x）的图象在直线l的下方
即

1

3

x3-2x2-3x-(-

9

2

x-

c

2

)＜0对一切x∈[-2，2]都成立c＜-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

对一切x∈[-2，2]都成立
令g(x)=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

  
g′（x）=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1＜0
g（x）在∈[-2，2]上单调递减故当x∈[-2，2]时，[g（x）]_min=g（2）=-6
因此c＜-6，即c的范围是（-∞，-6）

点评：本题主要考查函数的求导运算、闭区间上的恒成立问题．闭区间上的恒成立问题一般都是转化为求最值，即使参数大于最大值或小于最小值的问题．