Question

 （本小题满分13分）如图所示，已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点.

（1）求圆的方程;

（2）当时，求直线的方程.

（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) .（2）或.

（3）是定值，且.

【解析】(I)由点到直线的距离公式求出半径，然后可写出圆A的标准方程.

（2）讨论直线l斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，可设直线的方程为,然后利用,

可建立关于k的方程，求出k值.

(3)根据向量垂直的充要条件可知即=.然后再利用向量的坐标表示，证明是定值.再证明时要注意对直线斜率k分存在与不存在两种情况讨论.

解：(1)设圆的半径为.圆与直线相切,

.

圆的方程为. ……………………………4分

（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；…………………5分

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，

.

由，得.

直线的方程为.

所求直线的方程为或.………………………9分

（3）.

=.

当直线与轴垂直时，得，则又,

.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由解得.

.

.

综上所述，是定值，且.…………………13分