Question

平面上有n个圆,每两圆交于两点,每三圆不过同一点,求证:这n个圆分平面为n²-n+2个部分.?

      

Answer 1

思路分析:借助图形的直观性可解决.?

       证明:(1)当n=1时,n²-n+2=1-1+2=2,而一圆把平面分成两部分,?

       所以当n=1时,命题成立.?

       (2)假设n=k时,k个圆分平面为k²-k+2个部分,?

       那么n=k+1时,第k+1个圆与前k个圆有2k个交点,这2k个交点分第k+1个圆为2k段,每一段将原来的平面一分为二,故增加了2k个部分,共有(k²-k+2)+2k=(k+1)²-(k+1)+2个部分,

       ∴对n=k+1命题也成立.?

       由(1)(2)可知,这n个圆分割平面为n²-n+2个部分.?

       温馨提示:关于几何题的证明,关键是分析k与k+1的差异,k到k+1的变化情况,建立k与k+1的递推关系.