Question

【题目】已知点M（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点N在直线PQ上，且满足 ． （Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点N的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点 做直线l与轨迹C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E（x0 ， 0），使得△AEB是以点E为直角顶点的直角三角形，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）设N（x，y），∵ ，∴P（0， ）， ∴ =（3， ）， =（x，﹣ ），
∴ =3x﹣ =0，即y2=4x．
∴点N的轨迹C的方程是y2=4x．
（II）直线l的方程为y=k（x+ ）（k≠0），
联立方程组 ，消元得ky2﹣4y+2k=0，
∴△=16﹣8k2＞0，解得﹣ ＜k＜0或0＜k＜ ．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则y1+y2= ，y1y2=2，
∴|AB|= = ，
设AB的中点为F，∵x1+x2= = ﹣1，∴F（ ﹣ ， ），
∵x轴上存在一点E（x0 ， 0），使得△AEB是以点E为直角顶点的直角三角形，
∴F到x轴的距离d≤|EF|= |AB|，
即 ≤ ，化简得k4+k2﹣2≤0，解得0＜k2≤1．
又﹣ ＜k＜0或0＜k＜ ．
∴直线l的斜率k的范围是[﹣1，0）∪（0，1]．
【解析】（I）设N（x，y），求出P点坐标，根据 =0列方程化简即可；（II）联立方程组消元，利用根与系数的关系和弦长公式计算|AB|及AB的中点F的坐标，令F到x轴的距离d≤ |AB|，结合判别式△＞0列不等式组解出k的范围．