Question

【题目】已知y=f（x）是偶函数，定义x≥0时，f（x）=

（1）求f（-2）；

（2）当x＜-3时，求f（x）的解析式；

（3）设函数y=f（x）在区间[-5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

Answer 1

【答案】（1）2； （2）；（3）=.

【解析】

根据偶函数定义，可得f（-2）=f（2），代入解析式即可求解。

根据偶函数定义，可得f（x）=f（-x），代入即可求得x＜-3时的解析式。

（3）由偶函数可得函数在[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值；对a分类讨论，讨论在对称轴两侧的单调情况及最值即可。

（1）已知y=f（x）是偶函数，故f（-2）=f（2）=2（3-2）=2；

（2）当x＜-3时，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），

所以，当x＜-3时，f（x）的解析式为f（x）=-（x+3）（a+x）

（3）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，

①当a≤3时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，所以，

②当3＜a≤7时，f（x）在与上单调递增，在与上单调递减，

所以此时只需比较与的大小．

（A）当3＜a≤6时，≥，所以

（B）当6＜a≤7时，＜，所以g（a）=

③当a＞7时，f（x）在与[3，5]上单调递增，在上单调递减，且＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5），

综上所述，g（a）=