Question

一个圆经过点F（2，0），且和直线x+2=0相切
（1）求圆心满足的轨迹方程．
（2）求圆心到直线x-y+5=0的最近距离．

Answer 1

分析：（1）根据题意，圆心到定点F的距离等于它到定直线x+2=0的距离，由此可得圆心的轨迹是以F为焦点、x+2=0为准线的抛物线，利用抛物线的定义与标准方程加以计算，可得圆心满足的轨迹方程．
（2）由（1）得圆心的轨迹为抛物线y²=8x，将直线x-y+5=0平移至与y²=8x相切，所得切点到直线x-y+5=0的距离就是圆心到直线x-y+5=0的最近距离．因此求出这条平行切线的方程，再利用两条平行线的距离公式加以计算，即可得到圆心到直线x-y+5=0的最近距离．

解答：解：（1）设圆心为C（x，y），
∵点C到点F（2，0）的距离与到定直线x+2=0即x=-2的距离相等，
∴圆心C的轨迹是以F（2，0）为焦点、x=-2为准线的抛物线，
设抛物线方程为y²=2px（P＞0），可得

p

2

=2，得p=4，
∴抛物线方程为y²=8x，即为所求圆心的轨迹方程．
（2）∵圆心在抛物线y²=8x上，
∴将直线x-y+5=0平移，使平移后的直线与y²=8x相切，切点到直线x-y+5=0的距离最近．
设此平行切线的方程为x-y+c=0，
由

x-y+c=0 y2=2px

，消去x得：y²-8y+8c=0，
可得△=（-8）²-4×8c=0，解之得c=2，
∴切线方程为x-y+2=0，切点到直线x-y+5=0的距离为d，
则d=

|5-2|

2

=

3

2

2

，即为圆心到直线x-y+5=0的最近距离．

点评：本题给出动圆满足的条件，求圆心的轨迹方程并求圆心到定直线距离的最小值．着重考查了抛物线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系和动点轨迹的求法等知识，属于中档题．