Question

已知函数f(x)=2cos2x+

3

sin2x-1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值及取得最值时的x的取值．

Answer 1

分析：将f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）根据正弦函数的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递增区间；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最小值与最大值，以及取得最值时x的值．

解答：解：f（x）=2cos²x+

3

sin2x-1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
则f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
则当x=-

π

6

时，f（x）取得最小值-1；当x=

π

6

时，f（x）取得最大值2．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．