题目内容

已知抛物线y²=4x与椭圆x²+ $数学公式$ =1（a＞1）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若∠AFB=120°，则椭圆的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：先根据题意画出图形，再由椭圆和抛物线的对称性，求出∠AFD=60°，由抛物线y²=4x（p＞0）求焦点F坐标，再设AF=2m，利用三角函数用m表示出AD和FD，再根据点F得位置进行分类，表示出A的坐标，代入抛物线和椭圆方程求出m和a的值，再由a、b、c和定义求得椭圆的离心率．
解答：

解：由题意画出如图形如下：设AB于x轴的交点是D，
∵y²=4x，∴焦点F（1，0），
由椭圆和抛物线的对称性得，AB⊥x轴，∠AFD=60°，
设AF=2m（m＞0），在RT△AFD中，FD=m，AD= $\text{[math]}$ m，
（1）当点F在椭圆的内部时，由图得A（1+m， $\text{[math]}$ m），代入y²=4x得，3m²-4m-4=0，
解得，m=2或- $\text{[math]}$ （舍去），则A（3，2 $\text{[math]}$ ），把点A代入x²+ $\text{[math]}$ =1，解得：无解；
（2）当点F在椭圆的外部时，由图得有A（1-m， $\text{[math]}$ m），代入y²=4x得，3m²+4m-4=0，
解得，m= $\text{[math]}$ 或-2（舍去），则A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），把点A代入x²+ $\text{[math]}$ =1，
解得a²= $\text{[math]}$ ，故c²=a²-1= $\text{[math]}$ ，
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题考查了椭圆与抛物线的综合问题．在求椭圆的离心率时，一般是求出a和c，也可以先求出b和c或a，b；再利用a，b，c之间的关系来求离心率e，本题易错的地方是对应焦点F的位置忘记分类讨论．