Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=1，前n项和为S_n，bn=

1

Sn

，
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：b₁+b₂+…+b_n＜2．

Answer 1

分析：（1）等差数列{a_n}中a₁=1，公差d=1，由bn=

1

Sn

能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由bn=

2

n2+n

=

2

n(n+1)

，能证明b₁+b₂+…+b_n＜2．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中a₁=1，公差d=1
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n2+n

2

∴bn=

2

n2+n

…（4分）
（2）∵bn=

2

n2+n

=

2

n(n+1)

…（6分）
∴b1+b2+b3+…+bn=2(

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)
=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)…（8分）
=2(1-

1

n+1

)…（11分）
∵n＞0，
∴0＜

1

n+1

＜1
∴0＜2(1-

1

n+1

)＜2
∴b₁+b₂+…+b_n＜2．            …（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的证明，是基础题．解题时要认真审题，注意等差数列前n项和公式的应用和裂项求和法的灵活运用．