Question

设f(x)=log

1

2

1-ax

x-1

为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；
（2）若对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，求实数m取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的定义，我们可得f（-x）=-f（x），结合已知中f(x)=log

1

2

1-ax

x-1

，可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出a的值；
（2）构造函数g（x）=f（x）-（

1

2

）^x，判断函数g（x）在区间[3，4]上的单调性，并求出函数g（x）在区间[3，4]上的最小值，进而得到满足条件的实数m取值范围．

解答：解：（1）f（-x）=-f（x），log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

，可得

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

?（a²-1）x²=0?a=±1
 a=1时舍去，故a=-1
 （2）f（x）=log

1

2

(1+

2

x-1

)  
构造g（x）=f（x）-（

1

2

）^x=log

1

2

(1+

2

x-1

)-（

1

2

）^x
易得g（x）在区间[3，4]上单调递增
∴g（x）≥g（3）=-

9

8

m＜-

9

8

∴m∈（-∞，-

9

8

）

点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，及奇函数的性质，其中根据奇函数的性质求出a值，进而得到函数f（x）的解析式是解答本题的关键．