Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均为实数），满足a-b+c=0，对于任意实数x都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f(x)≤(

x+1

2

)2，
（1）求f（1）的值；
（2）求ac的最小值；
（3）当x∈[-2，2]且a+c取得最小值时，函数F（x）=f（x）-mx（m为实数）是单调的，求m取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据1≤f（1）≤(

1+1

2

)²可得答案．
（2）由f（1）=a+b+c=1，a-b+c=0解出b=a+c=

1

2

，再由基本不等式得到答案．
（3）根据（2）求出abc的值确定f（x）的解析式可得到F（x）的解析式，再根据F（x）在[-2，2]单调可求出m的值．

解答：解：（1）∵对于任意x∈R，都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，
有f（x）≤(

x+1

2

)2，
令x=1
∴1≤f（1）≤(

1+1

2

)2，
即f（1）=1；
（2）由a-b+c=0及f（1）=1，
有

a-b+c=0 a+b+c=1

，可得b=a+c=

1

2

，
又对任意x，f（x）-x≥0，
即ax²-

1

2

x+c≥0，
∴a＞0且△≤0，
即

1

4

-4ac≤0，解得ac≥

1

16

，
即ac的最小值为

1

16

；
（3）由（2）可知a＞0，c＞0，
a+c≥2

ac

≥2•

1 16

=

1

2

，
当且仅当

a=c a+c= 1 2

时等号成立，
此时a=c=

1

4

，
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
F（x）=f（x）-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]，
当x∈[-2，2]时，f（x）是单调的，
所以F（x）的顶点一定在[-2，2]的外边，
∴|

2-4m

2

|≥2、解得m≤-

1

2

或m≥

3

2

．

点评：本题主要考查一元二次函数的解析式问题，其中还用到基本不等式的有关问题．一元二次函数的单调性是每年必考内容，当开口向上是对称轴右边增左边减，当开口向下时对称轴左边增右边减．