Question

（2009•宁波模拟）一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M，N分别是AF、BC的中点）
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求二面角A-CF-B的余弦值；
（3）求多面体A-CDEF的体积．

Answer 1

分析：由三视图知，该多面体是低面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF
（1）连接BE，CE，通过证明MN是△BEC的中位线，得出MN∥CE后，即可证明MN∥平面CDEF；
（2）作BQ⊥CF于Q，连接AQ，可以证明∠AQB为所求二面角的平面角，在RT△ABQ中求解即可．
（3）将多面体A-CDEF的体积分割成2倍的A-CEF，再等体积转化为2V_C-AEF计算．

解答：解：由三视图知，该多面体是低面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=4

2

，∠CBF=

π

2

（1）证明：连接BE，易知BE通过点M，连接CE．
由于EM=BM．CN=BN
所以MN是△BEC的中位线
所以MN∥CE，
又MN?CDEF，CE?面CDEF 所以MN∥平面CDEF；（4分）
（2）作BQ⊥CF于Q，连接AQ
由已知，易知面BFC⊥面ABFE，
又面ABFE∩面BFC=BF，AB?面ABFE，AB⊥BF
根据平面和平面垂直的性质定理得出
AB⊥面BCF，由于CF?面BCF 所以AB⊥CF，结合BQ⊥CF，AB∩BQ=B
得出CF⊥面ABQ，AQ?面ABQ所以AQ⊥CF，
故∠AQB为所求二面角的平面角．        （6分）
在RT△ABQ中tan∠AQB=

AB

BQ

=

4

2 2

=

2

⇒cos∠AQB=

3

3

故所求二面角的余弦值为

3

3

（9分）
（3）棱锥A-CDEF的体积V=2×V_A-CEF=2×VC-AEF=2×

1

3

SABF•BC=

64

3

．（14分）

点评：本题考查了直线和平面、平面和平面垂直的判定与性质，空间几何体的体积计算．考查空间想象、推理论证能力，充分体现了证明与计算中转化的思想方法．