Question

已知圆系C：，圆C过y轴上的定点A，线段MN是圆C在x轴上截得的弦，设|AM|=m，|AN|=n．对于下列命题：
①不论t取何实数，圆心C始终落在曲线y²=x上；
②不论t取何实数，弦MN的长为定值1；
③不论t取何实数，圆系C的所有圆都与直线相切；
④式子的取值范围是
其中真命题的序号是     （把所有真命题的序号都填上）

Answer 1

【答案】分析：分析圆的方程特点，圆心C（t²，t²）在直线 y=x上；由弦长公式求弦MN的长；由圆心到直线的距离和半径作比较，判断直线和圆的位置关系；先求出m和n的值，有基本不等式可证 +≥2，由余弦定理求出 cosA，由三角形的面积可求 sinA，再运sinA+cosA≤，可得  +≤2．
解答：解：由圆C的方程知，圆心C（t²，t²）在直线 y=x上，故①不正确．
由弦长公式得：弦MN的长为 2=2=2=1，故②正确．
圆心C（t²，t²）到直线 的距离等于|t²-|，而半径为，二者不一定相等，故③不正确．
在圆C方程令y=0，可得 x²-2t²x+t⁴-=0，∴x=t²+  或 x=t²-，
即 M（t²+，0），N（t²-，0），由圆C方程知A（0，），
∴|AM|=m=，|AN|=n=，
由基本不等式得 +≥2（当且仅当m=n时等号成立），
△AMN中，由余弦定理得 1=m²+n²-2mncosA，∴cosA=，
△AMN的面积为 •m•n•sinA=×1×，∴sinA=，
∵sinA+cosA=≤，∴+=≤2，
 即 2≥+≥2，故④正确．
故答案为   ②④．
点评：本题综合考查圆系方程的性质，重点考查圆心的坐标特征，点到直线的距离公式、弦长公式、直线和圆的位置关系以及余弦定理的应用，并运用sinA+cosA≤ 这个结论．