题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)，过右焦点F斜率为
2
的直线与椭圆C交于A、B两点，若
AF
=3
FB
，则椭圆C的离心率为（　　）
A、
1
4
B、
1
2
C、
2
2
D、
3
2
分析：设 |
AF
|=3m，|
BF
|=m，故|AB|=4m．由椭圆的第二定义可得|AD|=
3m
e
，|BC|=
m
e
，求得|AE|=
2m
e
．
由AB的斜率tan∠BAE=
2
，可得cos∠BAE 的值，再由cos∠BAE=
|AE|
|AB|
 求出e的值．
解答：解：如图所示：过点A作AD垂直于右准线，垂足为D；过点B作BC垂直于右准线，垂足为C；
过点B作BE垂直于AD，垂足为E．
因为
AF
=3
FB
，可设 |
AF
|=3m，|
BF
|=m，故|AB|=4m．
由椭圆的第二定义可得|AD|=
3m
e
，|BC|=
m
e
，|AE|=|AD|-|ED|=|AD|-|BC|=
2m
e
．
由于直线AB的斜率等于
2
，∴tan∠BAE=
2
，∴cos∠BAE=
3
3
．
直角三角形ABE中，cos∠BAE=
|AE|
|AB|
=
2m
e
4m
=
1
2e
=
3
3
，解得离心率e=
3
2
，
故选：D．
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点评：本题考查椭圆的第二定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，直角三角形中的边角关系，体现了数形
结合的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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