Question

6．用数学归纳法证明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$（n∈N₊）

Answer 1

分析 运用数学归纳法证明，注意解题步骤，特别是n=k+1时，运用假设n=k的结论，结合放缩法，即可得证．

解答 证明：当n=1时，1＞$\frac{1}{2}$显然成立，
假设n=k时，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$＞$\frac{k}{2}$（k∈N₊）
当n=k+1时，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$
＞$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$•2^k=$\frac{k+1}{2}$，
即有当n=k+1时，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k+1}{2}$成立，
综上可得，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$（n∈N₊）．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查数学归纳法证明不等式的方法，考查推理能力，属于中档题．