Question

在△ABC中，a²+b²=kc²，且cotC=2004（cotA+cotB），则常数k的值为

 

．

Answer 1

分析：先根据余弦定理表示出cosC，进而对题设条件化简，把切转换成弦，利用两角和公式化简整理后，进而利用正弦定理把角的正弦转化成边整理求得

k-1

2

=2004，则k的值可求．

解答：解：由余弦定理可知cosC=

1

2ab

（a²+b²-c²）=

(k-1)c2

2ab

cotC

cotA+cotB

=

cosC•sin A•sin B

(sin Acos B+sin Bcos A)•sinC

=

cos C•sin A•sin B

sin2C

=

(k-1)c2

2ab

•

sin A•sin B

sin2C

=2004
由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
∴

k-1

2

=2004
∴k=4009
故答案为：4009

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了考生对基础知识的理解和灵活利用．