Question

【题目】正项数列：，满足：是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列.

（1）若，求数列的所有项的和；

（2）若，求的最大值；

（3）是否存在正整数，满足?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）84；（2）1033；（3）存在，

【解析】

（1）由题意可得：， 即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4； 可得的值；

（2）由题意可得，故有；即，即必是2的整数幂，要最大，必需最大，，可得出的最大值；

（3）由是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列，可得与，可得k与m的方程，一一验算k的值可得答案.

解：（1）由已知，

故为：2，4，6，8，10，12，14，16；公比为2，则对应的数为2，4，8，16，

从而即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；

此时

（2）是首项为2，公差为2 的等差数列，

故，从而，

而首项为2，公比为2的等比数列且，

故有；即，即必是2的整数幂

又，要最大，必需最大，，故的最大值为，

所以，即的最大值为1033

（3）由数列是公差为的等差数列知，，而

是公比为2的等比数列，则，故，即，

又，，则

，即，则，即

显然，则，所以，将，代入验证知，

当时，上式右端为8，等式成立，此时，

综上可得：当且仅当时，存在满足等式