Question

已知函数f（x）=a•e^x+

a+1

x

-2(a+1)(a＞0)．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时求出f（x），求导f′（x），切线斜率k=f′（1），f（1）=e-2，利用点斜式即可求得切线方程；
（Ⅱ）对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，等价于f（x）_min≥0，利用导数判断函数f（x）的单调性、极值，从而确定其最小值，其中为判定导数符号需要构造函数．

解答：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=e^x+

2

x

-4，∴f′（x）=e^x-

2

x2

，∴f′（1）=e-2，
∵f（1）=e-2，
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：（e-2）x-y=0．        
（Ⅱ）∵f（x）=a•e^x+

a+1

x

-2(a+1)(a＞0)．
∴f′（x）=

ax2ex-(a+1)

x2

，
令g（x）=ax²e^x-（a+1），则g′（x）=ax（2+x）e^x＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵g（0）=-（a+1）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，
∴存在x₀∈（0，+∞），使g（x₀）=0，且f（x）在（0，x₀）上单调递减，f（x）在（x₀，+∞）上单调递增，
∵g（x₀）=ax02ex0-（a+1）=0，∴ax02ex0=a+1，即aex0=

a+1

x02

，
∵对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，
∴f（x）_min=f（x₀）=aex0+

a+1

x0

-2（a+1）≥0，∴

a+1

x02

+

a+1

x0

-2（a+1）≥0，
∴

1

x02

+

1

x0

-2≥0，∴2x02-x0-1≤0，解得-

1

2

≤x₀≤1，
∵ax02ex0=a+1，∴x02ex0=

a+1

a

＞1，
令h（x₀）=x02ex0，而h（0）=0，当x₀→+∞时，h（x₀）→+∞，
∴存在m∈（0，+∞），使h（m）=1，
∵h（x₀）=x02ex0在（0，+∞）上，∴x₀＞m，
∴m＜x₀≤1，
∵h（x₀）=x02ex0在（m，1]上∴h（m）＜h（x₀）≤h（1），
∴1＜

a+1

a

≤e，∴a≥

1

e-1

．

点评：本题考查曲线上某点处切线方程的求解及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，正确理解导数的几何意义是关键，至于恒成立问题常常转化为函数最值处理，本题综合性强，难度大．