Question

已知函数f（x）=

lim

n→∞

2 n   - x n

2n+ x n

，试求：
（1）f（x）的定义域，并画出图象；
（2）求

lim

x→-2-

f（x）、

lim

x→-2+

f（x），并指出

lim

x→-2

f（x）是否存在．

Answer 1

分析：（1）讨论当|x|＞2，|x|＜2，当x=2时和当x=-2时，求出函数的极限即可得到f（x）的定义域，画出图象；
（2）分别求出x→-2^-，x→2⁺时函数的极限，得到两者不相等，所以

lim

x→-2

f（x）不存在．

解答：解：（1）当|x|＞2时，

lim

n→∞

2 n   -xn

2n+xn

=

lim

n→∞

( 2 x )n-1

( 2 x )n+1

=-1；
当|x|＜2时，

lim

n→∞

2n-xn

2n+xn

=

lim

n→∞

1-( x 2 )n

1+( x 2 )n

=1；
当x=2时，

lim

n→∞

2n-xn

2n+xn

=0；
当x=-2时，

lim

n→∞

2n-xn

2n+xn

不存在．
∴f（x）=

-1     (x＞2或x＜-2) 0       (x=2) 1        (-2＜x＜2).

∴f（x）的定义域为{x|x＜-2或x=2或x＞2}．如图所示
（2）∵

lim

x→-2-

f（x）=-1，

lim

x→-2+

f（x）=1．
∴

lim

x→-2

f（x）不存在．

点评：考查学生会求函数的左极限及右极限并会判断函数极限的存在性．会求不同的取值范围函数的极限．