Question

设m，n，k∈N^*，且m≤n，k≤n，n≥2，给出下列四个命题：
①；　　　 ②在（1+x）ⁿ的展开式中，若只有x⁴的系数最大，则n=7；
③；　　　④．
其中正确命题的个数有

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：利用二项式系数的性质可得①正确，②不正确，由组合数的计算公式可得③正确，根据kC_kⁿ=nC_k-1^n-1 ，可得④正确，从而得出结论．
解答：由于m，n，k∈N^*，且m≤n，k≤n，n≥2，利用二项式系数的性质可得①成立，故①正确．
②在（1+x）ⁿ的展开式中，若只有x⁴的系数最大，故只有最大，故n=8，故②不正确．
再由组合数的计算公式可得==，==，
故③正确．
④根据=nC_n-1⁰+nC_n-1¹+nC_n-1²+nC_n-1³+…+nC_n-1^n-1
=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1）=n•2^n-1，故④正确．
综上，①③④正确，②不正确，
故选C．
点评：本题考查组合数的计算公式和组合数的性质： 以及kC_kⁿ=nC_k-1^n-1 ，属于中档题．