Question

如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．
（1）求证：平面； 
（2）求四棱锥的体积；
（3）求平面与平面所成角的余弦值．

Answer 1

（1）在正方形中，因为，
所以三棱柱的底面三角形的边．
因为，，
所以，所以．
因为四边形为正方形，，
所以，而，
所以平面．----------- 4分
（2）因为平面，所以为四棱锥的高．
因为四边形为直角梯形，且，，
所以梯形的面积为．
所以四棱锥的体积．-----------8分
(3)由(1)(2)可知，，，两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，、

则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为．
则，即．
令，则．所以．
显然平面的一个法向量为．
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
所以平面与平面所成角的余弦值为．

略