题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P，Q，且|PQ|=
10
，求椭圆的方程．
分析：设出椭圆的标准方程，根据离心率及a、b、c的关系消去一个参数，使椭圆的标准方程中只含有一个参数；把直线方程代入椭圆的方程，转化为关于y的一元二次方程，使用根与系数的关系以及两点间的距离公式，求出这个参数的值，进而得到椭圆的标准方程．
解答：解：e=
c
a
=
3
2
，则c=
3
2
a．由c2=a2-b2，得a2=4b2．
由
x2
4b2
+
y2
b2
=1
x+2y+8=0
消去x，得2y2+8y+16-b2=0．
由根与系数关系，得y1+y2=-4，y1y2=
16-b2
2
．
|PQ|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2 =5（y1-y2）2 =5[（y1+y2）2-4y1y2]=10，
即5[16-2（16-b2）]=10，解得b2=9，则a2=36．
所以椭圆的方程为
x2
36
+
y2
9
=1．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程、一元二次方程根与系数的关系，以及两点间的距离公式的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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